જો $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,$|x| < 1$ હોય,તો $f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$0 \leq x \leq 1$ નો આલેખ નીચે દર્શાવેલ છે. $f_1(x) = f(x)$,$f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$,$n \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરો.
નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0$
$II.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \frac{1}{2}$
$III.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1$
$IV.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.

જો $f(x)=2\{x\}+5x$ હોય,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય (fractional part function) છે,તો $f(-1.4)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f, g$ અને $h$ એ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે,જ્યાં $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x+1)}{x+1}, & x \neq -1 \\ 1, & x=-1 \end{cases}$ અને $h(x) = 2[x] - f(x)$,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. તો $\lim_{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$ નું મૂલ્ય શોધો.

નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

ધારો કે $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: N \rightarrow N$ એવું છે કે $1990 < f(1990) < 2100$ અને તે સમીકરણ $x-f(x)=19[\frac{x}{19}]-90[\frac{f(x)}{90}]$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $[y]$ એ $y$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. તો $f(1990)$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?